
\prob{0068}{整除121}

是否存在自然数$x$，使得$x^2 + x + 3$被$121$整除？若存在，求出所有的$x$所满足的关系；不存在，则说明理由。
\problabels{yellow/数论, green/代数求值问题}

\ans{不存在；理由略。}

\subsection{化为乘积}

基本思路：先将$x^2 + x + 3$化为$(x - 5)(x + 6) + 33$，然后证明其若能被$11$整除，则必不能被$121$整除。

将$x^2 + x + 3$化为$(x - 5)(x + 6) + 33$。注意到$x - 5$和$x + 6$恰相差$11$，则分两种情况讨论。

当$11 \nmid x - 5$时，有$11 \nmid x + 6$，故$11 \nmid (x - 5)(x + 6) + 33$。因此，若有$x$使得$121 \mid x^2 + x + 3$，则必有$11 \mid x - 5$。

当$11 \mid x - 5$时，有$11 \mid x + 6$，故$121 \mid (x - 5)(x + 6)$。然而，$121 \nmid 33$，故$121 \nmid (x - 5)(x + 6) + 33$。

综上，不存在$x$，使得$121 \mid x^2 + x + 3$。
